디지털제어기사 필기 제어공학 Z 변환을 이용한 이산시간 시스템의 안정도 슐 코헨 판정법 분석 정리

디지털제어기사 필기 제어공학에서 Z-변환과 이산시간 시스템 안정도 문제는 계산형과 개념형이 혼합되어 출제됩니다. 특히 슐-코헨(Schur-Cohn) 판정법은 “단위원 내부에 모든 극점이 존재하는지”를 판별하는 대표적인 안정도 판정 기법입니다.

연속시간에서는 Routh-Hurwitz를 사용하지만, 이산시간에서는 단위원 |z| < 1 내부 여부가 기준이 됩니다. 이 차이를 정확히 이해하는 것이 핵심입니다. 여기서는 Z-변환 기반 안정도 조건, 슐-코헨 판정 절차, 그리고 시험 대비 계산 흐름을 체계적으로 정리합니다.

디지털제어기사 필기 제어공학 Z 변환을 이용한 이산시간 시스템의 안정도 슐 코헨 판정법 분석 정리

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1. 이산시간 시스템 안정도 조건

① 기본 안정 조건

이산시간 선형시스템이 안정하기 위한 조건은 전달함수 분모 다항식의 모든 근(극점)이 단위원 내부에 존재해야 합니다.

|z_i| < 1

즉, Z-평면에서 원점 중심 반지름 1의 원 안에 모든 극점이 있어야 합니다.

② 연속계와의 비교

• 연속시간 안정 조건 → s-평면 좌반평면
• 이산시간 안정 조건 → z-평면 단위원 내부

시험에서는 이 비교 개념을 묻는 문제가 자주 나옵니다.

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2. Z-변환과 특성방정식

이산시간 시스템 전달함수는 다음과 같이 표현됩니다.

G(z) = B(z) / A(z)

안정도 판별은 분모 다항식 A(z)의 근을 기준으로 합니다.

예:

A(z) = a₀zⁿ + a₁zⁿ⁻¹ + ... + a_n

이 다항식의 모든 근이 |z| < 1이면 안정입니다.

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3. 슐-코헨(Schur-Cohn) 판정법

① 개념

슐-코헨 판정법은 다항식의 근을 직접 구하지 않고도 단위원 내부 존재 여부를 판별하는 방법입니다.

연속계의 Routh 배열과 유사한 판정 기법으로 이해하면 됩니다.

② 2차 다항식 안정 조건

A(z) = z² + a₁z + a₂

이때 안정 조건은 다음 세 가지를 동시에 만족해야 합니다.

• |a₂| < 1
• 1 + a₁ + a₂ > 0
• 1 - a₁ + a₂ > 0

이 조건은 시험에서 매우 자주 출제됩니다.

③ 일반 n차 판정 절차

1. 최고차 계수를 1로 정규화 2. 슐 배열(Schur array) 구성 3. 각 단계에서 생성되는 계수가 절대값 1보다 작은지 확인

각 단계의 조건을 모두 만족하면 안정입니다.

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4. 예제 형태 정리

예: A(z) = z² - 0.5z + 0.2

• a₁ = -0.5
• a₂ = 0.2

조건 확인:

• |0.2| < 1 → 만족
• 1 - 0.5 + 0.2 = 0.7 > 0 → 만족
• 1 + 0.5 + 0.2 = 1.7 > 0 → 만족

따라서 안정입니다.

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5. 안정도 판별 방법 비교

방법	적용 영역	기준	특징
Routh-Hurwitz	연속시간	s-평면 좌반평면	부호 판별
Jury 판별법	이산시간	단위원 내부	표 배열 구성
Schur-Cohn	이산시간	단위원 내부	계수 조건 기반

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6. 시험에서 자주 틀리는 포인트

• 단위원 내부 조건을 |z| < 0으로 착각
• 2차 조건 부호 실수
• 정규화 없이 판정 시도
• 연속계 판별법과 혼동

특히 2차 다항식 안정 조건은 암기형으로 반드시 숙지해야 합니다.

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7. 핵심 암기 요약

• 이산 안정 조건 = 모든 극점 |z| < 1
• 판별 대상 = 분모 다항식 A(z)
• 2차 안정 조건 3개 부등식 암기
• Schur-Cohn은 근 계산 없이 판정

디지털제어기사 필기에서는 이론과 계산이 함께 출제됩니다. Z-평면 안정 영역을 시각적으로 떠올릴 수 있어야 하며, 2차 다항식 안정 조건은 즉시 적용 가능해야 합니다. 단위원 내부라는 기준만 명확히 잡으면 문제 접근이 훨씬 쉬워집니다.